Математическая модель

осредненного турбулентного движения

Пусть имеем систему уравнений пограничного слоя:

(2.1)

Так как первый член в правой части первого уравнения системы (2.1) записан как

, а не

, то надо оставить и второе уравнение

, чтобы сохранилась корректность системы уравнений пограничного слоя.

Для описания турбулентного движения Рейнольдс предложил следующий прием. Регистрируя во времени скорости и давления в данной точке потока, можно их представить как:

где

- действительно существующие в потоке мгновенные (актуальные) проекции скорости и давления;

- осредненные во времени их значения;

- пульсации проекций скорости и давления.

Под осредненным значением параметра понимается обычное интегральное среднее по времени t за промежуток T , называемый, периодом осреднения:

;

В турбулентном движении добавляется пульсационная составляющая скорости (рис.10), в результате чего наблюдается вихревое движение, при котором сопротивление значительно возрастает. Таким образом, турбулентное течение обладает бóльшим сопротивлением по сравнению с ламинарным движением.

Предложение Рейнольдса имеет физический смысл, поскольку турбулентное движение жидкости характеризуется непрерывными случайными пульсациями давления, компонент скорости и других гидродинамических величин. При этом каждая реализация турбулентного движения в одних и тех же условиях индивидуальна, т.е. процесс является случайным (недетерминированным).

Поскольку все пульсирующие величины можно разложить на средние по ансамблю реализаций турбулентного течения - математические ожидания (обозначаемые черточками сверху), и собственно пульсации (обозначаемые штрихами), то и приходим к Рейнольдсову представлению случайного поля:

(Если ограничиться несжимаемой однородной жидкостью, то r=const и, следовательно,

Поле осредненных величин называется осредненным движением, а поле мгновенных значений - актуальным движением. Если осредненное движение не меняется со временем, поток называется установившимся или стационарным.
В силу эргодического свойства стационарных случайных полей в установившемся потоке результат осреднения той или иной гидродинамической переменной по реализациям турбулентного движения совпадает с результатом осреднения по времени для любой одной реализации.

В настоящее время турбулентное движение принято характеризовать осредненным по времени значением величин. В уравнениях сохранения массы, количества движения и энергии в потоке вязкой жидкости истинные (мгновенные) величины заменяются осредненными во времени их значениями следующим образом. Истинные величины в данной точке турбулентного потока раскладываются на осредненные и пульсационные их значения, что соответствует физическому представлению турбулентного движения. Тогда уравнения неразрывности, движения и энергии для осредненного турбулентного движения несжимаемой жидкости в общем случае получаются из исходных уравнений после замены в них истинных значений переменных осредненными их значениями и пульсациями с последующим осреднением этих параметров по времени. При введении в действие новых переменных добавляется три неизвестных:

, и задача переходит в разряд неопределенных. Для устранения неопределенности и применяется усреднение по времени.

Рассмотрим решение задачи. Возьмем, например, уравнение:

.

Проведя операцию осреднения, его можно записать следующим образом:

или

. (здесь

, т.к. второе осреднение по условию не меняет результата). Так как левая часть уравнения равна

, то

. По аналогии

;

. Следовательно, среднее значение пульсационных составляющих равно нулю. (Но надо учесть, что

;

и т.д.). Применяя вышесказанное к исходной системе уравнений (2.1), можно после определенных преобразований получить уравнения турбулентного пограничного слоя в следующем виде:

(2.2)

Здесь а)

б)

в)

г)

, где

, д)

,

где

.

Видно, что уравнения такие же, как и для ламинарного пограничного слоя, только с добавкой напряжений от турбулентных пульсаций

, называемых рейнольдсовыми напряжениями.

Для вывода уравнений турбулентного пограничного слоя надо осреднить исходные уравнения погранслоя, несколько преобразовав первое уравнение - уравнение движения (аналогично случаю ламинарного пограничного слоя).

Для этого уравнение неразрывности умножим на ux

и добавим его в левую часть первого уравнения системы (2.1)

.

В результате преобразований (как и в случае ламинарного погранслоя - уравнение (1.21)) первое уравнение системы (2.1) получим в виде:

.

Здесь:

;

.

Проведем над обеими частями этого равенства операцию осреднения:

(2.3)

(для первого члена используется правило осреднения

). Так как

, то

;

.

Так как

, то

. Аналогично

Подставляя значения

в уравнение (2.3), получим:

(2.4)

Учитывая уравнение неразрывности в осредненном виде:

, (2.5)

можно уравнение движения (2.4) записать так:

(2.6)

С этой целью левая часть уравнения (2.4) преобразовывается с учетом уравнения неразрывности следующим образом:

.

Уравнения (2.5) и (2.6) входят в систему дифференциальных уравнений Рейнольдса осредненного турбулентного движения несжимаемой вязкой жидкости, которую можно окончательно представить в виде:

(2.7)

Эта система имеет одинаковый вид как для основного течения жидкости, так и для течения жидкости в погранслое.

Сопоставим первое уравнение системы (2.7) с уравнением движения вязкой жидкости в напряжениях, которое выглядит следующим образом:

.

В случае одномерного стационарного движения и отсутствия массовых сил это уравнение имеет вид:

. (2.8)

Сравнивая уравнение Рейнольдса с уравнением движения в напряжениях, можно представить себе правую часть уравнения Рейнольдса как результат подстановки в уравнение в напряжениях вместо величин pxx и pxy суммы вязких напряжений, определяемых обобщенным законом Ньютона, и дополнительных турбулентных напряжений p'xx и p'xy, возникших за счет наличия в потоке пульсаций, т.е.:

.

В нашем случае

а)

(т.к. в уравнении Прандтля пограничного слоя пропадает член

при стремлении Re¥®¥).

. Тогда

.

б)

(т.к. в уравнении Прандтля пограничного слоя пропадает член

при стремлении Re¥®¥).

. Тогда

.

Таким образом получаем полную тождественность уравнений движения в напряжениях (2.8) и Рейнольдса (2.7).

В общем случае трехмерного движения эти дополнительные турбулентные напряжения p'xx, p'xy и т.д. образуют, так же как и вязкие напряжения, симметричный тензор второго ранга:

(2.9)

называемый тензором турбулентных напряжений с компонентами

, которые называются рейнольдсовыми напряжениями.

Итак, приходим к выводу: уравнения осредненного турбулентного движения могут быть написаны в той же форме, что и уравнения действительного движения, если только, помимо вязких (ньютоновских) напряжений, учесть еще дополнительные турбулентные напряжения.

Назовем тензором полного (суммарного) напряжения тензор P, равный

, (2.10)

и имеющий компоненты:

(2.11)

Не только вид уравнений движения, но и вид уравнений импульсов (интегральное соотношение Кармана) в турбулентном пограничном слое остается таким же, как и для ламинарного пограничного слоя:

, (2.12)

только значения d, d*, d** и tw (напряжение трения на твердой стенке) будут иными:

а) толщина вытеснения масс в пограничном турбулентном слое

; (2.13)

б) толщина потери импульса в турбулентном погранслое

; (2.14)

в) напряжение трения на твердой стенке

.

Граничные условия будут следующими :

а) на стенке:

б) на внешней границе турбулентного погранслоя:

,

Необходимо учесть, что уравнение Эйлера

в случае обтекания плоской пластины преобразуется к виду: u'¥=0 (т.к. в этом случае u¥=ux,¥ постоянна вдоль оси Х и тогдаu'¥=u'x,¥=0 - нет изменения скорости вдоль пластины) и

. Для плоской пластины уравнение импульсов имеет вид:

(2.16)

Содержание раздела

Forekc.ru
Рефераты, дипломы, курсовые, выпускные и квалификационные работы, диссертации, учебники, учебные пособия, лекции, методические пособия и рекомендации, программы и курсы обучения, публикации из профильных изданий