Математическое моделирование течений вязкой жидкости

       

Математическое моделирование ламинарного течения


несжимаемой жидкости в трубах.

 Рассмотрим установившийся ламинарный поток в круглой цилиндри­ческой трубе, предположив линии тока прямыми, параллельными оси трубы (см. рис. 6), Будем рассматривать стационарный процесс, для которого

Математическое моделирование ламинарного течения
Математическое моделирование ламинарного течения

Математическое моделирование ламинарного течения

Предположим также, что среда несжимаема т.е. r=const. Кроме того, будем считать, что скорость потока и профиль скоростей не зависят от продольной координаты. Это так называемое стабилизированное движение, имеющее место в цилиндрической трубе на значительном расстоянии от входа. Следовательно, если направление движения совпадает с  осью Х, то проекции скоростей на оси y и z будут равны нулю:

Математическое моделирование ламинарного течения
.

Используя уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости:

Математическое моделирование ламинарного течения
 получаем, что
Математическое моделирование ламинарного течения
 и
Математическое моделирование ламинарного течения
, следовательно, скорость в трубе не зависит от координаты X (условие стабилизированного течения), т.е. ux=ux(y,z) = u(y,z).

Тогда уравнения движения Навье - Стокса вязкой несжимаемой жидкости, имеющие вид:

а) в векторной форме

Математическое моделирование ламинарного течения

б) в проекциях на оси декартовых координат:

Математическое моделирование ламинарного течения

после подстановки значений

Математическое моделирование ламинарного течения
;

  ux=uz=0;

Математическое моделирование ламинарного течения
 (т.е.
Математическое моделирование ламинарного течения
); 

Математическое моделирование ламинарного течения
 (т.е.
Математическое моделирование ламинарного течения
);

ux=u;  

Математическое моделирование ламинарного течения

и отбрасывания внешних сил Fx =Fy =Fz =0 преобразуются к виду:

Математическое моделирование ламинарного течения

Из этих уравнений следует:

1) величина давления не зависит от поперечных координат y и z и есть функция только координаты x, т.е. в частности, в круглой трубе давление меняется только вдоль оси, а, следовательно, постоянно в каж­дом сечении и не зависит от радиуса r ;

2) так как левая часть первого уравнения зависит только от у и  z, а правая часть не зависит  ни от у, ни от  z, то следовательно, правая и левая части этого уравнения должны быть равны одной и той же постоянной величине, т.е.

Математическое моделирование ламинарного течения

Таким образом, уравнение Навье - Стокса для стабилизированного движения жидкости в цилиндрической трубе вдоль оси X будет иметь вид:

Математическое моделирование ламинарного течения
 (1.32)

Если прямоугольную систему координат заменить на цилиндрическую, в которой x=x, y=r*cos(q); z= r*sin(q), то уравнение (1.32) примет  вид:

Математическое моделирование ламинарного течения
. (1.33)

Предполагая, что поток в трубе обладает осевой симметрией, заключаем, что все параметры не зависят от переменной q, т.е.

Математическое моделирование ламинарного течения
и
Математическое моделирование ламинарного течения
.
Тогда:

 
Математическое моделирование ламинарного течения
.

Так как 
Математическое моделирование ламинарного течения
, то уравнение Навье - Стокса перепишется в виде:

Математическое моделирование ламинарного течения
.

Выполним последовательно двойное интегрирование.

После первого интегрирования получим:

Математическое моделирование ламинарного течения
 или
Математическое моделирование ламинарного течения
.

Проинтегрируем еще раз:
Математическое моделирование ламинарного течения
 (1.34)

Постоянные интегрирования С1 и С2 определяются из граничных условий. Для круглой трубы с радиусом  R  они могут  быть записаны так: при  r=R  (внутренний радиус трубы) скорость   u=0; при   r=0   скорость u - конечная величина.

Так как скорость потока в трубе должна иметь конечное значение (или нулевое при r=R ), а при  r® 0 формула (1.34) дает бесконечное значение скорости на оси, то физически реальный результат получим лишь при  C1 = 0. Используя первое граничное условие, найдем:

Математическое моделирование ламинарного течения
 и тогда 
Математическое моделирование ламинарного течения
 (1.35)

Таким образом, для круглой трубы имеем параболическое распределение скоростей по сечению (рис. 7).

Математическое моделирование ламинарного течения


На оси трубы, т.е. при r=0, скорость потока достигает максимального значения:

Математическое моделирование ламинарного течения
.

 Тогда
Математическое моделирование ламинарного течения


или в безразмерном виде

Математическое моделирование ламинарного течения
.

Очевидно, что пространственная эпюра скоростей представляет собой параболоид вращения с основанием pR2 и высотой umax. Для цилиндрической трубы можно записать

Математическое моделирование ламинарного течения
,

где Dp - перепад давления в трубе длиной l.

Определим среднюю расходную и максимальную скорости в круглой трубе. Объемный расход жидкости равен:

Математическое моделирование ламинарного течения


Этот результат получается следующим образом:

Математическое моделирование ламинарного течения
.

Тогда
Математическое моделирование ламинарного течения


Поскольку расход Q связан со средней скоростью
Математическое моделирование ламинарного течения
формулой
Математическое моделирование ламинарного течения
, то
Математическое моделирование ламинарного течения
, т.е. при ламинарном режиме течения в круглой трубе максимальная скорость жидкости в двое больше средней. Это очень важное свойство ламинарного установившегося движения жидкости в круглой трубе. Отсюда:

Математическое моделирование ламинарного течения
Математическое моделирование ламинарного течения
Математическое моделирование ламинарного течения
.

Перепад давлений на участке трубы длиной l определяется как

Математическое моделирование ламинарного течения
,

где D - внутренний диаметр трубы.

Это формула Пуазейля, исследовавшего законы движения крови по капиллярным сосудам.

С другой стороны, для установившегося движения в цилиндрических трубах перепад давления определяется по формуле Дарси - Вейсбаха:

Математическое моделирование ламинарного течения
, где l - коэффициент трения.

Приравнивая оба равенства, получим:
Математическое моделирование ламинарного течения
, откуда

Математическое моделирование ламинарного течения
,

где
Математическое моделирование ламинарного течения
- число Рейнольдса, составленное по средней (расходной) скорости
Математическое моделирование ламинарного течения
 и диаметру трубы D.



Выражение коэффициента сопротивления l как функции числа Рейнольдса (
Математическое моделирование ламинарного течения
) называется законом сопротивления ламинарного движения вязкой жидкости в цилиндрической трубе.

Необходимо отметить, что полученные соотношения пригодны для ламинарного течения только лишь на определенном расстоянии от входа в трубу, после исчезновения начального участка ламинарного потока (см. рис. 8).

Математическое моделирование ламинарного течения


Если вход в трубу из резервуара выполнен достаточно плавно, то в на­чальном сечении 1-1 устанавливается практически равномерное распределе­ние скоростей. По мере движения жидкости тормозящее влияние стенок распространяется на всё большую толщу потока. На некотором участке, называемым начальным, поток имеет ядро, где сохраняется равномерное распределение скоростей, и пристенный пограничный слой, где скорости распределяются неравномерно. Сечение ядра вниз по течению убывает, а толщина пограничного слоя возрастает. В конце начального участка lн пограничный слой смыкается на оси трубы, и ниже по течению устанавливается параболическое распределение скоростей в соответствии с полученными соотношениями.

Этот характер течения и соответствующие ему зависимости имеют место только при устойчивом ламинарном режиме, т.е. при Re< Reкр. При  Re, немного меньших Reкр, в ламинарном потоке периоди­чески появляются кратковременные очаги турбулентности, которые могут на отдельных участках заполнять все сечение потока, образуя "турбулент­ные пробки".

При возрастании числа Re, турбулентный режим в каждом сечении существует все более длительное время и, наконец, поток становится турбулентным. Появление турбулентных очагов наступает тем раньше, чем больше возмущений испытывает поток при входе в трубу. Если вход сделать плавным и устранить другие источники возмущений, то ла­минарный режим можно получить и при больших числах Re  (напри­мер  20.000). Однако такие "затянутые" ламинарные режимы оказывались неустойчивыми, т.е. внесение в поток даже очень малых возмущений приводило к турбулизации.


Поэтому критические значения числа Re  следует понимать как границу устойчивого ламинарного режима в том смысле, что при. Re < Reкр любые внешние возмущения, вносимые в поток, будут с течением времени затухать и поток сохранит ламинар­ный характер. При Re > Reкр в зависимости от условий опыта может существовать ламинарный или турбулентный режим. Для круглых труб Reкр = 2300. Такое определение Reкр соответствует так назы­ваемому нижнему критическому числу Re.  Верхним  критическим числом Re называют то его значение, при котором устанавливается стабильный турбулентный режим.

2. МАТЕМАТИЧЕСОКЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТУРБУЛЕНТНЫХ ТЕЧЕНИЙ

 ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

2.1. Переход ламинарного течения в турбулентное

Исторически первыми научными наблюдениями турбулентного дви­жения были опыты английского физика 0. Рейнольдса, в которых он в 1893 году изучал движение воды в круглой цилиндрической трубе [5]. При повышении скорости ламинарно движущейся жидкости было замече­но, как на подкрашенную и хорошо видимую вначале прямолинейную струйку начинают накладываться волны, распространение которых вдоль струйки говорит о появлении возмущений в ранее спокойном прямолинейном движении. Постепенно с ростом скорости воды число таких волн и их амплитуда возрастает, пока, наконец, струйка не разобьется на нерегулярные, перемешивающиеся между собой более мелкие струйки, хаотический характер которых позволяет судить о переходе ламинарно­го движения в турбулентное. Таким образом, с возрастанием скорости ламинарное движение теряет свою устойчивость, при этом случайные возмущения, которые вначале вызывали лишь колебания струек относительно устойчивого их прямолинейного положения, быстро развиваются и приводят к новой форме движения жидкости - турбулентному движению.

Если местная скорость
Математическое моделирование ламинарного течения
 явно зависит от времени, т.е. изменяется с течением последнего, то движение и соответствующее ему поле скоростей называют неустановившимся или нестационарным. Если в каждой точке пространства вектор
Математическое моделирование ламинарного течения
 имеет постоянное во вре­мени значение, то движение и поле скоростей будет установившимся или стационарным.


Если ламинарные течения могут быть как установившими­ся, так и неустановившимися, то турбулентные течения, строго гово­ря, всегда являются неустановившимися. Неупорядоченное движение частиц в турбулентном потоке создает резкие изменения местных ско­ростей во времени, называемые пульсациями скорости.

Математическое моделирование ламинарного течения


На рис. 9 приведено изменение местной мгновенной скорости uх турбулентного потока. Видно, что местная скорость изменяется во времени достаточно резко, однако ее значение колеблется около некоторого среднего. Поскольку использование в расчетах мгновен­ных скоростей приводит к труднос­тям, вводится понятие местной осредненной скорости:

Математическое моделирование ламинарного течения
,

где uх - мгновенная местная скорость, Т - период осреднения. Такой способ осреднения не является единственным, но благодаря прос­тоте его широко применяют в гидромеханике. При этом можно предполо­жить, что для каждого турбулентного движения существует такой доста­точно большой по сравнению с периодом турбулентных пульсаций постоян­ный период осреднения Т, что сглаживание по времени приводит к осредненной величине, при повторном сглаживании уже не изменяющей­ся, т.е.
Математическое моделирование ламинарного течения
Если в результате осреднения, проведенного в данной точке в разные моменты времени t, будут получаться одни и те же значения uх , то осредненное движение называет­ся стационарным, а само турбулентное движение - квазистационарным. Разницу скоростей
Математическое моделирование ламинарного течения
и
Математическое моделирование ламинарного течения
 называют пульсационной скоростью или просто пульсацией:
Математическое моделирование ламинарного течения
. Нетрудно убедиться, что осредненное значение пульсации равно нулю:

Математическое моделирование ламинарного течения


По правилу осреднения также следует, что среднее значение производ­ной от скорости по координате равно производной от среднего значения скорости по той же координате, т.е.
Математическое моделирование ламинарного течения
, т.к. опера­ции дифференцирования по координате и интегрирования по времени независимы. Таким же свойством обладает и производная по времени, т.е.
Математическое моделирование ламинарного течения
. Все вышесказанное относится и к другим проек­циям скорости uу и uz

Правила осреднения обладают еще и следующими свойствами [6]:



Математическое моделирование ламинарного течения
Математическое моделирование ламинарного течения
 

Математическое моделирование ламинарного течения
Математическое моделирование ламинарного течения
 и т.д.

Величина
Математическое моделирование ламинарного течения
, полученная в результате осреднения произ­ ведения двух пульсирующих функций ux и uy, носит наименование одноточечной (в знак того, что значения функций ux и uy при интегрировании берутся в одной и той же пространственно-временной точке) двойной корреляции, а отношение
Математическое моделирование ламинарного течения
 - называ­ется коэффициентом корреляции между двумя статистически связанны­ми величинами. Равенство коэффициента корреляции R=±1 говорит о полной, детерминированной связи явлений, описываемых uх и uу (причем знак "-" говорит о противоположных фазах колебаний), а равенство R=0 говорит о статистической независимости явлений. Коэффициент корреляции между пульсациями, происходящими в двух раз­ных точках пространства и, вообще говоря, в различные моменты вре­мени, называется коэффициентом двухточечной пространственно - временной корреляции, причем, в зависимости от количества коррелируемых пульсирующих функций, двойной, тройной и т.д. корреляции.

Пульсационные составляющие скорости могут быть охарактеризованы частотой и амплитудой, которые при турбулентном движении изменяют­ся в широких пределах. В каждой точке турбулентного потока имеют место пульсационные скорости с целым спектром частот: от низких (5-10Гц) до очень высоких(50-100кГц). Средняя амплитуда пульсаций скорости характеризуется величинами равными:
Математическое моделирование ламинарного течения
;
Математическое моделирование ламинарного течения
;
Математическое моделирование ламинарного течения
. Обычно степенью интенсивности турбулентности называют среднюю квадратичную величину скорости пульсаций, отнесенную к средней скорости потока:

Математическое моделирование ламинарного течения
 где
Математическое моделирование ламинарного течения
.

Интенсивность турбулентности изменяется от 0.3% в атмосфере до 7-8% и более в машинах.

В своих опытах Рейнольдс впервые обнаружил, что переход лами­нарного движения в турбулентное обусловливается достижением критичес­кого значения некоторого безразмерного числа, или критерия, кото­рое в дальнейшем получило его имя. По опытам самого, Рейнольдса критическое число оказалось равным

 
Математическое моделирование ламинарного течения
;

здесь uср - средняя по расходу скорость, d - диаметр трубы. Впоследствии им же было открыто существование нижнего критического значения Reкр » 2000, такого, что при Re < Reкр движение в трубе оставалось ламинар­ным, каковы бы ни были введенные в течение возмущения.Вместе с тем было замечено, что путем удаления возмущений на входе в трубу или уменьшения начальной их интенсивности можно искусственно затянуть ламинарное движение в область значительно бóльших значений числа Re, например, до 5×104. Конечно, такое затянутое ламинарное движе­ние не терпит появления даже очень небольших возмущений и сразу же переходит в турбулентное.


Содержание раздела